Nov 1998, 中華管理評論

Nov.1, No.2

不確定情況下單一產品之成本-數量-利潤分析

──模糊決策模式之運用

A Fuzzy Decision Process for the Single Product C-V-P Analysis Under Uncertainty

蕭子誼
Tzy-Yih Hsiao

交通大學管理科學研究所
博士班研究生

吳壽山
Soushan Wu

交通大學管理科學研究所
教授

林文雄
Thomas Lin

會計圈講座教授
南加大企管學院

E-mail:nike0822@ms21.hinet.net


摘 要

  企業決策者於處理不確定情況下CVP分析問題時,常有賴專家估計CVP分析中主要變數之機率分配,而專家於主觀描述其所面臨之不確定性時,其言語之表達係由隨機及模糊二因素所組成,即因其中隱含有模糊性存在,致古典統計決策模式無法處理此等決策問題。本文以單一產品為例,說明如何運用模糊決策模式中之模糊理論及貝氏理論,將模糊性納入CVP分析模式之中,以顯現企業所面臨CVP分析問題之真實狀態,並藉以釐訂最適決策。

關鍵字:成本-數量-利潤分析、不確定性、模糊性、模糊決策模式

 

Abstract

  When business decision-makers deal with a CVP analysis under uncertainty, they often depend on the probabilities distribution of the primary variable in the CVP analysis estimated by experts. However, when the experts subjectively describe the uncertainty they face, their linguistic expressions are composed of random and fuzziness. Because of the fuzziness, classical statistical decision model can’t be employed effectively to solve this kind of decision-making problem. In this paper, a single product case is taken as an example to show how the fuzzy theory and Bayesian theory in the fuzzy decision model can be integrated into the CVP analysis.

Keywords:Cost-Volume-Profit Analysis Uncertainty Fuzziness Fuzzy Decision Model


壹、緒論

  成本-數量-利潤(Cost-Volume-Profit, CVP)分析之基本模式:

  

  其中Z = 利潤

  第t種產品之每單位售價

  =第t種產品之每單位變動生產、銷售成本

  n =產品之種類數

  第t種產品之產、銷數量

  TFC=固定生產、管理及銷售成本之總和

  此基本模式雖可運用於釐定訂價決策、短期生產規劃(Short-run Production Planning)、利潤規劃(Profit Planning)、設備購置( Equipment Purchase)等決策,惟此基本模式受到假設限制,故早於1964年Jaedicke and Robichek即為文指出傳統之CVP分析模式(Traditional CVP Analysis Model)將無法處理各相關決策中不確定性(Uncertainty)問題。因此,自1964年以來即有大量文獻圖建立不確定情況下CVP分析模式,期能解決此問題。此等文獻努力方向有二(Driscoll, Lin and Watkins, 1984),一、即採數理統計分析法(Mathematical-Statistical Analysis Approach),此法計分:(1)假定決策者已完全確知相關分配(Distributions Completely Known to the Decision Maker),此乃假定CVP分析中主要變數(Primary Variable),即、TFC之分配為已知,並藉以推論目標變數(Objective Variable),即Z之特徵值。其中將主要變數假定符合常態分配(Normal Distribution)者,例:Jaedicke and Robichek[1964]、Morrison and Kaczka[1969]、Johnson and Simik[1971]、Clark and Elgers[1973]、Jarrett[1973]、Kim[1973]、Dickison[1974]、Magee[1975]。另將主要變數假定符合Lognormal Distribution者,例:Hilliard and Leitch[1975][1976]、Chen[1978]、Constantinides, Ijiri and Leitch[1978]。(2)決策者未完全確知相關分配(Distribuitons Not Completely Known to the Decision Maker)則以Three-Level Approach,例:Ferrara and Hayya[1970]。Probability Tree Approach,例:Ferrara and Hayya[1970]。Tchebycheff Inequality Approach,例:Buzby[1974]、Adar, Barnea and Lev[1977]、Four Moments Approach,例:Johnson and Simik[1974]、Kottas, Lau and Lau [1977][1978]等法解決此問題。二、係以Monte Carlo Simulation, Stochastic Process, Time Series Approach,例:Ferrara and Hayya[1970]、Hayya、Copeland and Chan[1975],Liao[1975],Driscoll and Lin[1977],Kottas and Lau [1977][1978],Ravichandran and Ramarathnam[1993],Wu, Kuo and Lin[1994],以解決CVP分析中不確定性問題。

  以上各法運用於不確定情況下CVP分析模式,其相關決策問題係由決策空間(Decision Space) 來描述,其中表企業所處環境之狀態集合(State Set),1, 2….n表狀態集合之一種狀態或實際存在之一種情況。表行動集合(Action Set),,j=1, 2….m表決策者可採行之一種行動、方案。之機率。上之評價函數(Evalution Function),係狀態下,採行動之效果,就CVP分析而言,表利潤值,即Z。若決策者已確知符合常態分配、Lognormal Distribution或其他特定分配,且機率可精確評估(Precise Assessment of Probabilities)者,則決策者之最適方案()應取決於:

  

  惟企業於實際運用CVP分析技巧,依上述古典統計決策模式,(Classical Statistical Decision Model)(1) ,以決定最適方案時,將遭遇二項主要因難:

  1. 企業於估計CVP分析中主要變數之機率分配時,常有賴於了解該企業產能、成本結構、產品市場需求之管理者,依專家判斷(Expert Judgement)估計之。例如:業界常用之德飛法(Delphi Method),即典型依專家主觀評估(Subjective Assessment )以預測次期之銷售數量[Cassino(1984)],惟決策者以主觀描述其所面臨之不確定性,其表達常隱含“模糊性”(Fuzziness)或“不精確性”(Impreciseness)存在其中[Watson, Weiss and Donnelly(1979)],其表達如:

“明年銷售數量有機會(Good Chance)銷售2,000單位,不太可能(Very Unlikely)低於500單位,很可能(Most Probable)將介於1,400-1,600單位之間”

“當經濟景氣下,明年銷售數量成長10%之機率約(about) 60%”

此種描述中所稱“經濟景氣下”、“約60%”之措辭,乃隱含“銷售數量成長10%”此事件(Event)發生機率可能是59%、60%、62%甚或65%,其意指決策者主觀估計其所面臨不確性現象時,係由隨機(Random)及模糊(Fuzzy)二因素組合而成[Chan and Yuan(1990)],而機率CVP模式(Probabilitic and Stochastic CVP Model)存在一前題,乃假設於決策分析時其所需投入機率係為“精確”數據(“Precise” Numerical)且基於重複抽樣及相對次數觀念而計得,而與專家判斷依個人信任度(Degree of Belief)為據而計得機率,有所不同。因此傳統機率CVP模式於處理此等含有模糊性之決策問題時,係有其因難存在。本文擬以單一產品為例,採模糊理論(Fuzzy Theory)之技巧以度量模糊性,並將其結論納入傳統機率CVP模式,期能釐定最適決策

  1. 專家於評估CVP分析中主要變數所形成之主觀機率分配(Subjective Probability Distribution),係綜合說明了其個人對參數(Parameter)的暸解情況,因此專家在觀察任何樣本資料之前,其對某個參數早就有了某種程度之瞭解與認識,此時參數之分配係屬事前機率分配(Prior Probability Distribution),惟進行CVP分析過程中,決策者須面臨相關之樣本訊息(Sample Information),此訊息將使決策者增進對母體之認知,進而形成事後機率分配(Posterior Probability Distribution)。本文擬將樣本訊息因素依貝氏理論(Bayesian Theory)推論事後機率,並納入CVP分析模式之中,以求此CVP分析方式較符實務處理之實況。


貳、模糊事件機率

一、模糊事件之事前機率(Prior Probability of Fuzzy Event)

  決策者於處理不確定情況下CVP分析決策問題時,限於主觀估計主要變數之參數分配時,將隱含模糊性存在,若以機率論之觀念來度量此等不精確性係有其困難[Zadeh(1965)],其主要原因乃機率論處理者為隨機現象,而隨機者(Randomness)係關乎一事件之發生或不發生,而模糊者(Fuzziness)則關乎歸屬於某主題(或事件)之程度[Bellman and Zadeh(1970)]。依Zadeh(1965)之定義,模糊集合係用以規範不具精確範圍(Crisp Boundaries)事物之集合,且以歸屬函數(Membership Function),表示X集合上之模糊集合中,對要素,則表示x屬於模糊集合之程度或歸屬等級(Grade of Membership),且值愈大表歸屬程度愈高。依模糊集合之概念,可定義在無額外樣本訊息之下,模糊事件之事前機率(2)

二、模糊事件之事後機率(Posterior Probablity of Fuzzy Event)

  設為樣本訊息空間(Sample Information Space),若當狀態發生下;樣本訊息被獲得之事前機率為已知,則定義在獲得樣本訊息之事後機率為:

  決策者於估計不確情況下CVP分析主要變數之參數分配時,常受訂價決策、固定資產購置方案或生產方式之改變,而獲得樣本訊息,惟此等樣本訊息之效果仍須賴專家估計之,故仍將涉及專家主觀判斷問題。例如,銷售數量之事先機率為已知之下,然因企業訂價決策改變,每單位價格由$10降為$7,專家對銷售數量之描述:

“按公司新訂價決策,決定將每單位售價由現行之$10降為$7,則銷售數量將成長約10%”

此等樣本訊具模糊性下,其事後機率之求算為:

設樣本訊息空間為獨立事件,為X上之模糊樣本訊息空間(Fuzzy Sample Information Space),模糊集合,稱為模糊樣本訊息(Fuzzy Sample Information ),在獲得後可依貝氏定理求算事後機率

其中:


參、模糊決策模式於CVP分析之運用

  決策者於處理實際CVP問題時,不僅面臨具模糊性之樣本訊息空間,其所處之狀態空間亦屬模糊狀態空間。例如,企業於預測其下期銷售數量時,常按“經濟景氣”、“經濟狀況持平”、“經濟不景氣”分別評估其可能之銷售數量,惟何狀態下對該特定企業、特定產品方足以視之為“經濟景氣”、“經濟狀況持平”、“經濟不景氣”仍有賴決策者主觀判斷,因此決策者面臨之狀態空間亦隱含模糊性存在。此外,決策者於CVP分析中所擬定行動方案之不同,將導致成本結構亦隨之改變。以訂價決策改變為例,因每單位價格下降,導致預計銷售數量增加時,企業為因應此增加之生產量,不得不考慮其產能(Production Capacity)現況而擬定可行方案,並進一步評估各方案優劣。今假設為因應銷售數量之增加,其決策者可採行方案有二;方案一:按現行人力配置,惟採加班方式為支應。此情況下除將立即造成CVP模式中變動成本()之直接人工(Direct Labor)、變動製造費用(Variable Factory Overhead)產生變化外,另此方案亦須考量企業是否有足夠之閒置產能(Idle Capacity)以為支應,否則亦將使固定製造費用(Fixed Factory Overhead)亦產生改變。方案二:若採部份加工製程轉包方式辦理,則將導致加工成本(Conversion Cost),即直接人工及製造費用(Factory Overhead)之結構發生變化。決策者對於此二方案所導致之變動成本、總固定成本(TFC)之差異,除非企業能蒐集大量資料建構此差異之完全資訊(Perfect Information),以為分析依據,惟考量決策者所處之環境變動不居、決策時效之急迫性及此等決策無法試行等因素,故實際上於制定執行方案時無法長久等待完全資訊之取得,故實務上較可行方式仍須專家判斷為之。因此,決策者於處理不確定情況下CVP分析問題時,其擬採行之方案亦具模糊性存在。綜合之,決策者實際處理之CVP分析問題,係一個具模糊狀態、模糊樣本訊息及模糊行動之決策問題。

  依以上敘述,可定義CVP分析問題可以模糊決策空間(Fuzzy Decision Space)以描述之:

其中:

表狀態集合。表狀態集合中某一狀態。

表模糊狀態集合(Fuzzy State Set),S上之某一模糊集合。

表行動集合。表決策者可採行之某一行動或方案。

表模糊行動集合(Fuzzy Action Set),D上之某一模糊集合。

之事前機率

之評價函數

一、模糊狀態之事前機率

模糊狀態之事前機率,按模糊事件機率定義為:

二、模糊狀態之事後機率

表樣本訊息空間,且為獨立事件。

X上之模糊樣本訊息空間,為模糊樣本訊息。

當獲得模糊樣本訊息時,模糊狀態之事後機率,按模糊

事件事後機率定義為:

  若獲得多個模糊樣本訊息,例,則模糊狀態之事後機率得視為獲得模糊樣本訊息之事後機率作為未取模糊樣本訊息之事前機率,並據以求算獲得模糊樣本訊息之事後機率,故定義(3)為:

三、模糊行動之期望效用

  決策者經衡量企業處於某模糊狀態且獲得模糊樣本訊息下,須進一步考量企業產能,而擬定可行方案、行動,行動之不同則導致CVP分析模式之成本結構亦將有所差異,決策者須將之下其發生之每單位變動成本及總固定成本(TFC)納入CVP分析模式:,以求算利潤值Z,而此利潤值為即為評價函數之函數值,則之期望效用可定義為:

並藉以釐定應採取最適之行動

最適模糊行動之期望效用可定義為:


肆、模糊CVP決策模式與傳統機率CVP模式之比較

  本文以下擬先舉一釋例,以說明模糊決策模式於CVP分析之運用情況外,並擬以此釋例所得之數據為依據,據以說明傳統機率CVP模式(Traditional Probabilitic CVP Model)導致決策錯誤之可能性,並籍以檢驗模糊CVP決策模式(Fuzzy CVP Decision Model)之決策有效性。

一、釋例

  本文擬以XYZ公司為釋例,說明模糊CVP決策模式(Fuzzy CVP Decision Model)於不確定性情況下CVP分析之運用。假設XYZ公司之模糊決策空間說明如下:

(一)狀態集合

  XYZ公司產銷單一產品A,其銷售數量()之預估工作,長期以來均由該公司銷售部門專家執行之。該公司銷售部門專家預估次期銷售數量之技巧,係按“經濟景氣”、“經濟狀況持平”、“經濟不景氣”分別評估其次期可能銷售數量。

  設狀態集合,其中表A產品之銷售數量。模糊狀態集合表經濟景氣,表經狀況持平,表經濟不景氣。設模糊狀態 k =1,2,3之歸屬函數及i =1,2,3,4,5之事前機率如表1所示。

表1 

1,000

1,200

1,400

1,500

1,800

0

0

0.8

0.9

1.0

0

0.8

1.0

0.9

0

1.0

0.9

0.8

0.5

0

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

 

(二)、樣本訊息空間

  XYZ公司近期為因應同業削價競爭,故重新擬定訂價決策,決定將A產品之每單位售價由現行之$10降為$7,銷售部門預估此改變將使銷售數量增加。

  設樣本訊息空間,其中代表銷售數量增加率且為獨立事件。XYZ公司銷售部門按“銷售數量成長率將相當高”、“銷售數量成長率變化不大”之狀況以為預估之基礎,亦即模糊樣本訊息空間M=,其中表銷售數量成長率將相當高,表銷售數量成長率變化不大。己知XYZ公司過去在狀態下,發生之事前機率,詳表2。模糊訊息之歸屬函數之事前機率,詳表3。

表2 

   %

   

10

12

15

20

1,000

0.5

0.3

0.1

0.1

1,200

0.5

0.4

0.1

0

1,400

0.5

0.5

0

0

1,500

1.0

0

0

0

1,800

1.0

0

0

0

 

表3 

10

12

15

20

0

0.1

1.0

0.8

0

0.9

1.0

0

0.2

0.4

0.4

0.2

 

(三)、模糊行動集合

  XYZ公司為因應預期下期銷售數量之成長,經考量其產能現況,決定其行動集合,其中第一方案:係按現行人力採加班方式因應之。第二方案:係將部份加工製程予轉包方式辦理。各方案經XYZ公司評估其各別之成本結構說明如下:

方案一:

每單位直接人工(Driect Labor-DL)將上升至約$2.5,每單位直接材料(Direct Materials-DM)維持$1.0,每單位變動製造費用(Variable Factory Overhead-VFO)將上升至約$1.5。總固定成本(Total Fixed Cost-TFC)現為$2,000,惟其攸關範圍(Revelent Range)介於800單位至1,000單位間,若超過則總固定成本將上升至$3,500。

方案二:

每單位將額外發生委外加工成本(Additional Conversion Cost-ACC)$1.5,每單位直接人工將下降至約$1.5,每單位直接材料將維持$1.0,每單位變動製造費用將下降至約$1.0。總固定成本因部份製程轉包之故,而維持$2,000。

  設模糊行動集合,其中上之模糊集合,表示DL約$2.5,VFO約$1.5,上之模糊集合,表示DL約$1.5,VFO約$1.0。詳表4,詳表5。

表4 

$

1.0

1.5

2.5

3.0

0

0.4

1.0

0.8

0.8

1.0

0.4

0.2

 

表5

$

0.8

1.0

1.5

2.0

0.1

0.6

1.0

0.8

0.6

1.0

0.8

0.4

 

(四)、評價函數

  XYZ公司按發生之下,其各別成本結構中每單位變動成本()及總固定成本(TFC)納入CVP分析模式:,以求算利潤Z,而此利潤值即為評價函數之函數值

  1. 狀態下銷售數量之期望值

XYZ公司考量銷售數量成長率後,在 , i=1,2,3,4,5之狀態下新銷售數量之期望值為:

按表2資料計得=1,121,=1,335.6,=1,554,=1,650,=1,980

, k = 1,2,3之下銷售數量之期望值Qt():

按表1資料計得Qt()詳表6:

表6 Qt()

Qt()

993

1,133

1,015

 

  1. 行動下每單位變動成本歸屬函數之導出

依據Watson, Weiss and Donnelly (1979, p.3)之定義,若一產出變數(Output Variable)為n個投入變數(Input Variable)之函數,(例,),則產出變數f(x)之歸屬函數可運用模糊理論中“且”及“或”之擴展原理(Extension Principle of AND and OR)定義如下:

其中:歸屬於第i個投入變數之歸屬值。

表y歸屬於產出變數f(x)之歸屬值。

XYZ公司之每單位變動成本之歸屬值函數推導如下:

  1. 行動

行動下,其=DLt+DMt+VFOt,且令,則,並按“且”及“或”擴展原則導出其之歸屬函數及已知P()列於表7。

  1. 行動

行動係採部份加工製程轉包,故每單位變動成本須另加額外之委外加工成(ACC),故其=ACCt+DLt+DMt+VFOt,且令,ACCt,則,其歸屬函數及已知P()列於表8。

表7 及P()

或P() $

2.8

3.0

3.5

3.3

4.0

4.3

4.5

4.8

5.0

5.5

6.0

1.0

1.0

1.0

1.5

1.5

1.0

1.5

2.5

1.5

2.5

3.0

2.5

3.0

2.5

3.0

3.0

1.0

0.8

1.0

1.5

1.0

0.8

2.0

1.5

0.8

2.0

1.0

0.8

1.5

1.0

2.0

1.0

2.0

 (4)

0

0

0

0.4

0.1

0

0 4

0.1

0.4

0.6

0.1

1.0

0.6

0.8

0.8

0.8

0

0

0.4

0.1

0.4

0.1

0.6

0.1

1.0

0.8

0.8

P()

0

0.01

0.03

0.03

0.03

0

0.3

0.1

0.4

0.05

0.05

 

表8 P()

或P()

4.3

4.5

4.8

5.0

5.5

5.8

6.0

6.3

6.5

7.0

7.5

1.5

1.0

1.0

1.5

1.0

1.5

1.0

1.5

2.5

1.5

2.5

3.0

2.5

3.0

2.5

3.0

3.0

1.0

0.8

1.0

0.8

1.5

1.0

2.0

1.5

0.8

2.0

1.0

0.8

1.5

1.0

2.0

1.5

2.0

0.6

0.8

0.6

0.8

1.0

0.4

0.8

0.4

0.4

0.4

0

0.4

0

0.4

0

0

0.6

0.8

0.6

1.0

0.8

0.4

0.4

0

0.4

0.4

0

P()

0.03

0.03

0.1

0.4

0.3

0

0.03

0.01

0.05

0.05

0

 

  1. 行動下每單位變動成本之期望值

XYZ公司可依表7、表8之數據,計算,n=1,2行動下,各別每單位變動成本之期望值

  1. 評價函數值

XYZ公司新訂價決策己定每單位售價()為$7,得將前文所計得及TFC納入CVP分析模式:,其中設XYZ公司現行產能之下TFC為$2,000,其攸關範圍介於800-1,000單位間,超過1,000單位,則TFC上升至$3,500,惟第二方案因轉包之故TFC均維持於$2,000。按CVP模式計得利潤Z,且因XYZ公司生產單一A產品,故,此Z值即為XYZ公司評價函數U(A,F)之數值,其結果(5)

(五)最適行動之期望效用

  XYZ公司計得,並考量其獲得模糊樣本訊息,j=1,2之下,則之期望效用可依定義:

其結果:

  故XYZ公司應採為宜,即採部份加工製程轉包方式辦理。

  XYZ公司最適行動之望效用可依定義:

  XYZ公司之

二、模糊CVP決策模式之決策有效性分析

  按Zadeh[1965]對模糊集合之定義,若X集合上之一個模糊集合,則[0,1],之歸屬函數,亦即當,則[0,1]。當歸屬函數之值域(Range)予以改變為{0,1}時,即轉化成明確集合(Crisp Set)A轉化成特性函數(Characteristic Function)CA。此種轉化就決策者於CVP分析中之意涵而言,係代表決策者於判斷CVP模式中主要變數(Pt,DMt,DLt,VFOt,ACCt,TFC,Qt)之變化時,不具任何模糊性存性,亦即=1。在此情況下,因=CA(x)=1,則模糊事件發生之機率可定義為:

  依傳統機率CVP模式而言,決策者而臨之決策空間為B={S,D,P(Si),U(dj,Si)},就CVP模式而言,U(dj,Si)即為Z值(Value Z),故於Si狀態且獲得xr樣本訊息之下,其最適方案(Optimal Alternative)之期望效用(Expected Utility)可定義為:

依模糊CVP決策模式而言,決策者面臨之決策空間為,若於模糊狀態且獲得模糊樣本訊息空間之下最適方案之期望效用可定義為:

  就CVP模式而言,模糊CVP決策模式主張決策者於判斷該模式之主要變數(Pt,DMt,DLt,VFOt,ACCt,TFC,Qt)之變化時,其均隱含模糊性因素存在,除非決策者:

  1. 決策者掌握主要變數之完全訊息(Perfect Information),方可將其模糊性排除。例如,前文XYZ公司A產品之例中,DMt維持為$1.0,TFC於攸關範圍內為$2,000,超過攸關範圍則為$3,500,此時(DMt)=1,(TFC)=1。
  2. 決策者可能受客觀環境所限,使主要變數予以確定。例如:前文XYZ公司A產品例中,該公司為因應同業競爭,將每單位售價下降為$7.0,方案二中ACC因轉包合約已將之確定為$1.5,亦即(Pt)=1,(ACCt)=1。

否則,主要變數均具模糊性。本文於推導(Vt)時,係採用模糊理論中“且”及“或”之擴展原因(Extension Principle of AND or OR) [Watson, Weiss and Donnelly(1979)]定義為:

模糊CVP模式對於樣本訊息之處理,亦主張具模糊性存生,以前文XYZ公司A產品為例,決策者於模糊狀態之下,獲得銷售數量成長率Xr此樣本訊息時,其仍具模糊樣本訊息空間M存在,因此之下,銷售數量期望值Qt()定義為:

就CVP分析而言,模糊CVP決策模式中即為Z值,故可定義為:

若比較可發現以下二結論:

  1. 傳統機率CVP模式,係假定CVP分析中主要變數之模糊性不存在,亦即決策者於主觀判斷主要變數之變化時,其均可作完全正確之預估,使。以前文所舉之XYZ公司A產品,該公司決策者對方案一而言,他們可以預估DL將上升至$2.5,而非上升至約$2.5,VFO將上升至$1.5,而非上升至約$1.5。對方案二而言,其決策者可正確預估DL將下降至$1.5,而非下降至約$1.5,VFO將下降至$1.0,而非下降至約$1.0。傳統機率CVP模式此等假設,除非決策者已掌握完全訊息或客觀環境已將之確定,否則將CVP模式中主要變數認定為不具模糊性或忽略不計,不但不符實況,且將導致決策錯誤,嚴重損及決策之有效性。
  2. 傳統機率CVP模式係假設決策者判斷於Si狀能下取得xr樣本訊息時,其對Si及xr可正確預估,不具模糊性存在,亦即。以前述XYZ公司A產品為例,表示該公司決策者於主觀判定下年度銷售總數量及銷售數量成長率之變化,均不具模糊性。當一企業之產品訂價因同業競爭壓力或市場機能使之確定之下,該企業按此單價採傳統機率CVP模式為CVP分析時,即因傳統機率CVP模式排除主要變數、狀態及樣本訊息之模糊性,其最適方案之期望效用將小於模糊CVP決策模式最適方案之期望值(6)。以前文XYZ公司A產品為例,其按傳統機率CVP模式分析下,其為$607.2(7) ,而按模糊CVP決策模式分析下,其為$1,017.2。企業決策者若按此低估之利潤以為決策依據,則將考量其目標利潤(Target Profit)或必要報酬率(Requirement Rate of Return),而誤將應採行之方案予以捨去,或為達其利潤規劃,而錯誤調高其訂價,導致喪失其競爭優勢。


伍、模糊決策模式之成本效益分析

  決策者採模糊決策模式處理不確定性情況下CVP分析問題,首須蒐集資訊並建立之資料,方得為之,然蒐集此資訊須負擔蒐集成本(令此成本=SC),取得XM後方可納入該決策模式分析。惟依貝氏理論而言,當決策者獲得樣本訊息以建立其貝氏主觀機率分配(Bayesan Subjective Probability Distribution)之下,決策者對CVP分析主要變數之母數認知將有所累積、學習,其效果適反應於提高其值之上,亦即樣本訊息愈完全則值將愈高。惟相對地企業建立XM之成本將愈大,故須進一步考量本模式之成本、效益關係。之變化狀況如下:

表無模糊樣本訊息下最適行動之期望效用。

表取得模糊樣本訊息下最適行動之期望效用。

表若模糊樣本訊息為完全訊息空間下最適行動之期望效用。

則:表模糊樣本訊息效益,

表模糊樣本訊息為完全訊息空空間下之效益,

  企業為建立模樣本訊息之成本為,則模糊決策模式之成本、效益關係:

  1. (或)(或),表蒐集XM之成本大於其產生之效益,則企業不值得去蒐集XM以為分析之依據。
  2. (或)(或),表蒐集XM之效益大於成本。

(或),係為企業蒐集樣本訊息成本之上限。


陸、結 論

  本文係以單一產品為例,探討企業決策者於面臨不確定情況下CVP分析問題,因受限於專家對CVP分析主要變數作主觀評估時,常隱含“模糊性”存在並常受樣本訊息所影嚮,故本文按模糊理論及貝氏定理以度量該模糊性及樣本訊息效果,據以計得模糊事後機率納入模糊決策模式,藉以釐定不確定性情況下CVP分析問題之最適行動。由於人類之思維及控制行為,均具模糊及非定量化之特性存在,因此針對CVP分析而言,模糊CVP決策模式係較符人性決策方式。本文更進一步發現,當一企業之產品價格受客觀環境限制而確定之下,若採傳統機率CVP模式以為CVP分析時,由於該模式排除模糊性之故,其決策過程不但不符實況,且將低估利潤數,造成錯誤將可行方案予以捨去之弊端,並籍以檢驗模糊CVP決策模式之決策有效性。


註  釋

(1) “古典”此術語,係非所有統計學家所默許支持之用語,但是它確是經常被用來說明,至少合乎下列三種特質之推論情況:

    1. 估計與檢定程序係基於重覆抽樣下進行之。
    2. 一個事件之機率,係根據該事件之相對次數(Relative Frequency)之極限所定義而產生。
    3. 該推論無法提供非樣本及損失訊息(Nonsample and Loss Information)。

[Judge, Hill, Griffiths, Lutkepoh and Lee(1987)]

(2) A事件之機率,若以Lebesgue-Stieltjes Integral表示:

為事件A之特性函數(Characteristic Function)。P(A)為之期望值(Expectation Value) E()。

令n=1,則則P(A):

若為離散情形,P(A):

模糊事件之機率,視為歸屬函數之期望值,故連續情形下,

若為離散情形

[Zadeh(1968)]

 

(3)

(4) XYZ公司之DM、ACC為固定值,故

(5)

(6)令(Pt)=1,P(Pt)=1,則可定義為:

(Vt)=1=(Vt), (TFC)=(TFC), (Si)=1=(Si), (xr)=1=(xr) 則轉變成傳統機率CVP模式之最適方案期望效用可定義為:

(Vt)-(Vt) = 0, = 0, (TFC)-(TFC) = 0,

(7)按表7、表8之數據計得Vt之期望值各為:

E[A1(Vt)]=$4.759 E[A2(Vt)]=$5.312

按表1、表2之數據計得Qt(Si)之期望值為:

E[Qt(Si)]= 1,544.52

各方案之期望效用為:

= ($7-$4.759)×1544.52-$3,500=($38.7)

= ($7-$5.312)×1544.52-$2,000=$607.2

最適方案之期望效用為:

=$607.2


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